一元二次方程根与系数的关系讲解视频（一元二次方程根与系数的关系讲解）

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1、一元二次方程的解法 一、知识要点: 一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基 础，应引起同学们的重视。

2、 一元二次方程的一般形式为:ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程。

3、 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

4、一元二次方程有四种解 法:直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法。

5、 二、方法、例题精讲: 直接开平方法: 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。

6、用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程，其解为x=m± . 例1.解方程(1)(3x+1)2=7 (2)9x2-24x+16=11 分析:(1)此方程显然用直接开平方法好做，(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以 此方程也可用直接开平方法解。

7、 (1)解:(3x+1)2=7× ∴(3x+1)2=5 ∴3x+1=±(注意不要丢解) ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= (2)解: 9x2-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= 2.配方法:用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边:ax2+bx=-c 将二次项系数化为1:x2+x=- 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:x2+x+( )2=- +( )2 方程左边成为一个完全平方式:(x+ )2= 当b2-4ac≥0时，x+ =± ∴x=(这就是求根公式) 例2.用配方法解方程 3x2-4x-2=0 解:将常数项移到方程右边 3x2-4x=2 将二次项系数化为1:x2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方:x2-x+( )2= +( )2 配方:(x-)2= 直接开平方得:x-=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= . 3.公式法:把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项 系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。

8、 例3.用公式法解方程 2x2-8x=-5 解:将方程化为一般形式:2x2-8x+5=0 ∴a=2, b=-8, c=5 b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 ∴x= = = ∴原方程的解为x1=,x2= . 4.因式分解法:把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让 两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个 根。

9、这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

10、 例4.用因式分解法解下列方程: (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0 (3) 6x2+5x-50=0 (选学) (4)x2-2( + )x+4=0 (选学) (1)解:(x+3)(x-6)=-8 化简整理得 x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零) (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。

11、 (2)解:2x2+3x=0 x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) ∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=0，x2=-是原方程的解。

12、 注意:有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。

13、 (3)解:6x2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) ∴2x-5=0或3x+10=0 ∴x1=, x2=- 是原方程的解。

14、 (4)解:x2-2(+ )x+4 =0 (∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法) (x-2)(x-2 )=0 ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。

15、 小结: 一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般 形式，同时应使二次项系数化为正数。

16、 直接开平方法是最基本的方法。

17、 公式法和配方法是最重要的方法。

18、公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法)，在使用公式 法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程 是否有解。

19、 配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法 解一元二次方程。

20、但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方 法之一，一定要掌握好。

21、(三种重要的数学方法:换元法，配方法，待定系数法)。

22、 例5.用适当的方法解下列方程。

23、(选学) (1)4(x+2)2-9(x-3)2=0 (2)x2+(2-)x+ -3=0 (3) x2-2 x=- (4)4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 分析:(1)首先应观察题目有无特点，不要盲目地先做乘法运算。

24、观察后发现，方程左边可用平方差 公式分解因式，化成两个一次因式的乘积。

25、 (2)可用十字相乘法将方程左边因式分解。

26、 (3)化成一般形式后利用公式法解。

27、 (4)把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后可利用十字相乘法因式分解。

28、 (1)解:4(x+2)2-9(x-3)2=0 [2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0 (5x-5)(-x+13)=0 5x-5=0或-x+13=0 ∴x1=1,x2=13 (2)解: x2+(2- )x+ -3=0 [x-(-3)](x-1)=0 x-(-3)=0或x-1=0 ∴x1=-3，x2=1 (3)解:x2-2 x=- x2-2 x+ =0 (先化成一般形式) △=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0 ∴x= ∴x1=,x2= (4)解:4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0 [2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0 2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0 ∴x1= ,x2= 例6.求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。

29、 (选学) 分析:此方程如果先做乘方，乘法，合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐，仔细观察题目，我 们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体，则方程左边可用十字相乘法分解因式(实际上是运用换元的方 法) 解:[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0 即 (5x-5)(2x-3)=0 ∴5(x-1)(2x-3)=0 (x-1)(2x-3)=0 ∴x-1=0或2x-3=0 ∴x1=1,x2=是原方程的解。

30、 课外拓展 一元二次方程 一元二次方程(quadratic equation of one variable)是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二 次的整式方程。

31、 一般形式为 ax2+bx+c=0, (a≠0) 在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中:求出一个数使它与它 的倒数之和等于 一个已给数，即求出这样的x与，使 x=1, x+ =b, x2-bx+1=0, 他们做出( )2;再做出 ，然后得出解答:+ 及 - 。

32、可见巴比伦人已知道一元二次 方程求根公式。

33、但他们当时并不接受 负数，所以负根是略而不提的。

34、 埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，例如:ax2=b。

35、 在公元前4、5世纪时，我国已掌握了一元二次方程的求根公式。

36、 希腊的丢番图(246-330)却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中 之一。

37、 公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程x2+px+q=0的一个求根公 式。

38、 在阿拉伯阿尔.花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种 不同的形式，令 a、b、c为正数，如ax2=bx、ax2=c、 ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c 等。

39、把二次方程分成 不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。

40、阿尔.花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一 次 给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。

41、十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。

42、 韦达(1540-1603)除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。

43、 我国《九章算术.勾股》章中的第二十题是通过求相当于 x2+34x-71000=0的正根而解决的。

44、我国数学 家还在方程的研究中应用了内插法。

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